中一金牌之路 · 第一階段 —— 由零開始,打通競賽數學的任督二脈
① 每天 30 分鐘,勝過週末狂操 3 小時。大腦跟肌肉一樣,靠「經常練」長出來,不是靠「一次練到死」。一個任務做不完?明天接著做,完全沒問題。
② 卡題三次法則(全書最重要的規則)。遇到不會的題:先自己想 10 分鐘 → 還不會,看「提示」再想 10 分鐘 → 還不會,才看「答案與思路」。看完答案要做兩件事:把思路講給一個人聽(爸媽、同學、甚至玩偶),然後3 天後把這題重做一次。奧數高手不是不卡題,而是卡題後處理得好。
③ 錯題本 = 你的武器庫。準備一本簿,每道做錯或看了答案的題,抄進去,寫三行:題目 / 我當時卡在哪 / 解開它的鑰匙是什麼。比賽前翻武器庫,比做 100 道新題更有用。
④ 誠實打卡。每完成一個任務,勾選下面的「完成打卡」,你會獲得 XP、升級稱號。偷勾沒有用——數學是騙不了的,BOSS 戰會揭曉一切。
約 6–8 週 · 本手冊完整收錄
完成畢業試後,請爸媽找 Claude 解除封印
直達比賽季 · 金牌衝刺
為什麼從計算開始?因為奧數比賽限時 45–90 分鐘,算得又快又準的人,等於比別人多了 20 分鐘思考時間。而且你會發現——快,不是靠手快,是靠「看穿數字的結構」。這才是魔法。
1787 年,德國一間小學。老師想偷懶,罰全班計算 1+2+3+⋯+100,心想至少安靜半小時。結果一個 9 歲小孩 10 秒後舉手:「答案是 5050。」他叫高斯,後來成為「數學王子」。
先別往下看——拿張紙,自己想一分鐘:他是怎麼做到的?
高斯把數字頭尾配對:1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 … 共 50 對,所以 101×50=5050。
寫成咒語(公式):和 = (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2
配套咒語(90% 的人栽在這):項數 = (末項 − 首項) ÷ 公差 + 1。例如 11,13,15,…,99 有 (99−11)÷2+1 = 45 項,別忘了 +1!
示範 — 3+6+9+⋯+30:公差 3,項數 (30−3)÷3+1=10,和 =(3+30)×10÷2=165。
找爸媽比賽:他們用計算機,你用腦。題目:47+98+53+2+51+49。
你的秘訣——先「配好朋友」:(47+53)+(98+2)+(51+49) = 100+100+100 = 300。你會比計算機更快,因為對方還在按鍵。
湊整:加法裡自由交換位置,把能湊成整十整百的先配對。
乘法三對好朋友(必背):2×5=10 · 4×25=100 · 8×125=1000。看見 25 就找 4,看見 125 就找 8。
拆數(分配律):99×87 = (100−1)×87 = 8700−87 = 8613;101×87 = 8700+87 = 8787。99、101、998 這種「差一點就整」的數,全部用拆的。
示範 — 25×32×125:把 32 拆成 4×8,重新組隊:(25×4)×(8×125)=100×1000=100000。
算算看:1/2 + 1/6 = ? 再加 1/12?再加 1/20?
你會得到 1/2, 2/3, 3/4, 4/5… ——答案居然排著隊出現!它永遠差一點點到 1,卻永遠到不了。為什麼?
秘密是:1/6=1/(2×3), 1/12=1/(3×4)……而每一項都能「劈開」:
1/(n×(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)(驗證:1/2−1/3 = 3/6−2/6 = 1/6 ✓)
於是 1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4) = (1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)——中間全部互相抵消,像望遠鏡一樣「唰」地收起來,只剩 1−1/4=3/4。這招叫裂項相消,是初中競賽最華麗的技巧之一。
示範 — 1/(1×2)+1/(2×3)+⋯+1/(9×10) = 1−1/10 = 9/10。只剩頭和尾,中間 8 項全部蒸發。
規則:限時 45 分鐘,不用計算機,每題 10 分。做完自己對答案、算總分,填進下面的分數框。90 分以上金牌,70 銀,50 銅。錯的題必進錯題本。
數論是奧數的靈魂。它研究的問題小學生看得懂,卻能難倒博士。這一章你會學到偵探的三件武器:奇偶、整除、質數——還有奧數第一思想:不變量。
去廚房拿 3 個杯子,全部口朝上放好。規則:每次必須同時翻轉 2 個杯子。目標:讓 3 個杯子全部口朝下。
玩 5 分鐘。你會發現……怎麼都做不到。為什麼?這不是手氣問題,是數學上不可能——往下看。
盯住「口朝下的杯子數」:開始是 0。每次翻 2 個,這個數只能 +2、−2 或不變(翻一上一下)——它的奇偶性永遠不變!開始是偶數(0),目標是奇數(3),所以永遠到不了。
這種「不管怎麼操作都不變的性質」叫不變量,是奧數殺手鐧。口訣先背熟:
奇±奇=偶 · 偶±偶=偶 · 奇±偶=奇;乘法:只要有一個偶數,積就是偶數。
示範 — 1+2+3+⋯+2026 是奇數還是偶數?偶數不影響奇偶,只看奇數:1~2026 裡有 1013 個奇數,奇數個奇數相加是奇數。答:奇數。
隨便想一個三位數,比如 358。把它寫兩遍變成六位數:358358。
我隔空預言:這個數一定能被 7 整除,也能被 11 整除,還能被 13 整除。不信?用計算機驗證,換別的三位數再試。百發百中。(謎底在本任務最後一題。)
看個位:2(偶數)、5(0 或 5)。看末兩位:4、25。看末三位:8、125。
看數字和:3、9(數字加起來能被 3/9 整除)。例:747 → 7+4+7=18 → 能被 9 整除。
11 的絕招:「隔位相減」——(第1、3、5…位之和)−(第2、4、6…位之和)能被 11 整除(包括 0)即可。例:1364 → 1−3+6−4=0 → 能被 11 整除。
示範 — 4 7 □ 2 這個四位數能被 9 整除,□ 是幾?數字和 4+7+2=13,湊到 18 需要 5。
美洲有一種蟬,在地下沉睡 17 年才鑽出來一次;另一種睡 13 年。為什麼偏偏是 13 和 17?因為它們是質數——天敵的繁殖週期(2 年、4 年、6 年…)很難和質數「撞期」,17 年蟬和 4 年天敵要每 68 年才相遇一次。質數,是蟬用了幾百萬年演化出的生存策略。
質數:恰好有兩個因數(1 和自己)的數。合數:因數多過兩個。1 既不是質數也不是合數(它只有一個因數)。2 是唯一的偶質數。
質因數分解:任何合數都能拆成質數相乘,而且拆法唯一。例:60=2×2×3×5=2²×3×5。質數就是搭出所有數字的「原子」。
互動實驗:埃拉托斯特尼篩法 — 下面是 1~100。劃掉 1,再劃掉 2 的倍數(2 本身留下)、3 的倍數(3 留下)、5 和 7 的倍數……點擊數字劃掉/恢復,完成後按「對答案」。剩下的,就是 100 以內全部質數。
限時 45 分鐘,每題 10 分。90 金 / 70 銀 / 50 銅。錯題進武器庫。
競賽數學一半的題目本質上都在問同一句話:「你看得出規律嗎?」這一章訓練你的「模式眼」——看見別人看不見的結構。
先玩再學——猜下一個數,輸入後按「檢查」:
(彩蛋:31, 28, 31, 30, 31, … 下一個是?——這不是數學題,是月曆!有時候「規律」藏在生活裡。)
① 看差:相鄰兩數相減。差還看不出?看差的差。② 看倍:試試相除(×2? ×3?)。③ 看老朋友:平方數 1,4,9,16,25…、立方數 1,8,27,64…、質數 2,3,5,7,11…。④ 看組合:前兩項相加?隔項有關?(1,1,2,3,5,8 = 斐波那契數列,每項是前兩項之和——向日葵的種子、鸚鵡螺的殼都按它生長。)
3^2026(3 自乘 2026 次)是一個接近一千頁才寫得完的巨獸,宇宙裡沒有計算機顯示得完它。但我知道它的個位數字是 9。
我不是神——我只是發現了:巨獸再大,它的尾巴也在繞圈圈。
3 的次方的個位:3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1…——每 4 個一循環!所以只需問:2026 是循環裡的第幾個?2026÷4=506…餘2 → 第 2 個 → 9。
週期問題三步曲:① 找出週期(繞一圈多長) ② 用除法取餘數 ③ 餘幾就是第幾個(整除 = 一圈的最後一個!)
示範 — 今天星期三,100 天後星期幾?一週 7 天,100÷7=14…餘2,星期三再走 2 天 → 星期五。
拿一盒牙籤。搭 1 個三角形要 3 根;搭「一排 2 個」(共用一條邊)要 5 根;一排 3 個要 7 根。
不搭出來,你能說出一排 100 個三角形要幾根嗎?(如果你在數 1、2、3……停!獵人不數數,獵人找結構:第一個三角形 3 根,之後每個只加 2 根。)
圖形規律的套路:「首個 + 每次增加 × 次數」。一排 n 個三角形 = 3+2×(n−1) = 2n+1 根 → 100 個要 201 根。
核心心法(再說一次):從最簡單的情況開始,列表,找規律,再驗證。
限時 45 分鐘,每題 10 分。90 金 / 70 銀 / 50 銅。
模擬真實比賽:12 題,限時 60 分鐘,不用計算機,獨立完成(爸媽監考更有儀式感)。每題 10 分,滿分 120。100 分以上金牌——拿到金牌,就有資格解開第二階段的封印。三章的武器混在一起考,就像真正的比賽一樣。
拿到畢業金牌(或努力後拿到銀牌也算!),請爸媽回到 Claude,說一句:「孩子完成第一階段了,解鎖第二階段。」第二階段將進入思維大陸:餘數與同餘、雞兔同籠、行程問題、幾何與方程——真正的競賽核心。
沒到 60 分?不是失敗,是偵察——錯題本會告訴你哪一章要重打,重打完再來,BOSS 一直在等你。
孩子卡題時,忍住不要講答案。只用三句話:「你是怎麼想的?」「有沒有別的方法?」「這題像不像我們做過的哪一題?」講出來的思路才是他的;聽來的思路,比賽時帶不進考場。孩子講題給您聽時,哪怕您聽不懂,認真聽完——「講給別人聽」是最高效的學習方式。
每天 30–40 分鐘、每週 5 天,一個任務可以拆成兩天,寧慢勿快。獎勵過程(連續打卡 7 天、錯題本寫滿一頁),不獎勵「聰明」;XP 和等級可以自行兌換家庭獎勵(例如滿 500 XP 一次家庭活動)。切記:他做錯題時的反應,決定了他會不會愛上數學——把「怎麼錯了」換成「這題有點東西,我們一起看看它的鑰匙」。
| 時間 | 做什麼 | 備註 |
|---|---|---|
| 9–10 月 | 本手冊第一階段(第一至三章 + 畢業試) | 建立習慣與信心 |
| 10 月底 | 找 Claude 解鎖第二階段(餘數/應用題/行程/幾何/方程) | 11–12 月完成 |
| 11–12 月 | 報名 AMC8(經學校或阿思丹 ASDAN,1 月開考);可順帶報 12 月「學界精英賽」試水 | AMC8 適合中一至中二 |
| 12–1 月 | 解鎖第三階段(計數/面積/抽屜原理/真題) | 開始做目標比賽的歷屆真題 |
| 1–2 月 | 報名華夏盃初賽(hkmo.com.hk,可個人報名);3 月前報數學袋鼠 HKMKC | 兩者金獎都按比例頒發,是主攻目標 |
| 3–4 月 | 比賽季:華夏盃晉級賽、袋鼠、港澳盃 AIMO | 賽前兩週以錯題本+真題為主 |
| 7–8 月 | 視乎戰果,8 月「數學及奧數公開賽」再衝一次 | 一年有 3–4 個獎牌窗口 |
關於「金牌」的坦白話:華夏盃、袋鼠、HKIMO 這類比賽的金獎按參賽者比例頒發(大致前 10–25%,視乎賽事)。以他「底子不錯」為起點,按本路線每天 30 分鐘堅持 8 個月,金牌是現實可爭的目標——但請把它當副產品。真正的獎品是:一個主動翻開數學書的孩子。若某場失手,同一賽季還有下一場,錯題本比獎牌保值。
進度(打卡、XP、分數)自動保存在本裝置的瀏覽器中;換裝置不會同步,建議固定用同一部 iPad/電腦。答案預設摺疊,點「提示」「答案與思路」展開;請與孩子約定遵守「三次法則」。頁面右下角可重置全部進度。