中一金牌之路 · 第一階段 —— 由零開始,打通競賽數學的任督二脈
① 每天 30 分鐘,勝過週末狂操 3 小時。大腦跟肌肉一樣,靠「經常練」長出來,不是靠「一次練到死」。一個任務做不完?明天接著做,完全沒問題。
② 卡題三次法則(全書最重要的規則)。遇到不會的題:先自己想 10 分鐘 → 還不會,看「提示」再想 10 分鐘 → 還不會,才看「答案與思路」。看完答案要做兩件事:把思路講給一個人聽(爸媽、同學、甚至玩偶),然後3 天後把這題重做一次。奧數高手不是不卡題,而是卡題後處理得好。
③ 錯題本 = 你的武器庫。準備一本簿,每道做錯或看了答案的題,抄進去,寫三行:題目 / 我當時卡在哪 / 解開它的鑰匙是什麼。比賽前翻武器庫,比做 100 道新題更有用。
④ 誠實打卡。每完成一個任務,勾選下面的「完成打卡」,你會獲得 XP、升級稱號。偷勾沒有用——數學是騙不了的,BOSS 戰會揭曉一切。
約 6–8 週 · 本手冊完整收錄
約 10–12 週 · 2026-07-22 解封 · 建議先打完第一階段畢業試熱身
直達比賽季 · 金牌衝刺
為什麼從計算開始?因為奧數比賽限時 45–90 分鐘,算得又快又準的人,等於比別人多了 20 分鐘思考時間。而且你會發現——快,不是靠手快,是靠「看穿數字的結構」。這才是魔法。
1787 年,德國一間小學。老師想偷懶,罰全班計算 1+2+3+⋯+100,心想至少安靜半小時。結果一個 9 歲小孩 10 秒後舉手:「答案是 5050。」他叫高斯,後來成為「數學王子」。
先別往下看——拿張紙,自己想一分鐘:他是怎麼做到的?
高斯把數字頭尾配對:1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 … 共 50 對,所以 101×50=5050。
寫成咒語(公式):和 = (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2
配套咒語(90% 的人栽在這):項數 = (末項 − 首項) ÷ 公差 + 1。例如 11,13,15,…,99 有 (99−11)÷2+1 = 45 項,別忘了 +1!
示範 — 3+6+9+⋯+30:公差 3,項數 (30−3)÷3+1=10,和 =(3+30)×10÷2=165。
找爸媽比賽:他們用計算機,你用腦。題目:47+98+53+2+51+49。
你的秘訣——先「配好朋友」:(47+53)+(98+2)+(51+49) = 100+100+100 = 300。你會比計算機更快,因為對方還在按鍵。
湊整:加法裡自由交換位置,把能湊成整十整百的先配對。
乘法三對好朋友(必背):2×5=10 · 4×25=100 · 8×125=1000。看見 25 就找 4,看見 125 就找 8。
拆數(分配律):99×87 = (100−1)×87 = 8700−87 = 8613;101×87 = 8700+87 = 8787。99、101、998 這種「差一點就整」的數,全部用拆的。
示範 — 25×32×125:把 32 拆成 4×8,重新組隊:(25×4)×(8×125)=100×1000=100000。
算算看:1/2 + 1/6 = ? 再加 1/12?再加 1/20?
你會得到 1/2, 2/3, 3/4, 4/5… ——答案居然排著隊出現!它永遠差一點點到 1,卻永遠到不了。為什麼?
秘密是:1/6=1/(2×3), 1/12=1/(3×4)……而每一項都能「劈開」:
1/(n×(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)(驗證:1/2−1/3 = 3/6−2/6 = 1/6 ✓)
於是 1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4) = (1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)——中間全部互相抵消,像望遠鏡一樣「唰」地收起來,只剩 1−1/4=3/4。這招叫裂項相消,是初中競賽最華麗的技巧之一。
示範 — 1/(1×2)+1/(2×3)+⋯+1/(9×10) = 1−1/10 = 9/10。只剩頭和尾,中間 8 項全部蒸發。
規則:限時 45 分鐘,不用計算機,每題 10 分。逐題選答案後自動計分。90 分以上金牌,70 銀,50 銅。錯的題必進錯題本。
數論是奧數的靈魂。它研究的問題小學生看得懂,卻能難倒博士。這一章你會學到偵探的三件武器:奇偶、整除、質數——還有奧數第一思想:不變量。
去廚房拿 3 個杯子,全部口朝上放好。規則:每次必須同時翻轉 2 個杯子。目標:讓 3 個杯子全部口朝下。
玩 5 分鐘。你會發現……怎麼都做不到。為什麼?這不是手氣問題,是數學上不可能——往下看。
盯住「口朝下的杯子數」:開始是 0。每次翻 2 個,這個數只能 +2、−2 或不變(翻一上一下)——它的奇偶性永遠不變!開始是偶數(0),目標是奇數(3),所以永遠到不了。
這種「不管怎麼操作都不變的性質」叫不變量,是奧數殺手鐧。口訣先背熟:
奇±奇=偶 · 偶±偶=偶 · 奇±偶=奇;乘法:只要有一個偶數,積就是偶數。
示範 — 1+2+3+⋯+2026 是奇數還是偶數?偶數不影響奇偶,只看奇數:1~2026 裡有 1013 個奇數,奇數個奇數相加是奇數。答:奇數。
隨便想一個三位數,比如 358。把它寫兩遍變成六位數:358358。
我隔空預言:這個數一定能被 7 整除,也能被 11 整除,還能被 13 整除。不信?用計算機驗證,換別的三位數再試。百發百中。(謎底在本任務最後一題。)
看個位:2(偶數)、5(0 或 5)。看末兩位:4、25。看末三位:8、125。
看數字和:3、9(數字加起來能被 3/9 整除)。例:747 → 7+4+7=18 → 能被 9 整除。
11 的絕招:「隔位相減」——(第1、3、5…位之和)−(第2、4、6…位之和)能被 11 整除(包括 0)即可。例:1364 → 1−3+6−4=0 → 能被 11 整除。
示範 — 4 7 □ 2 這個四位數能被 9 整除,□ 是幾?數字和 4+7+2=13,湊到 18 需要 5。
美洲有一種蟬,在地下沉睡 17 年才鑽出來一次;另一種睡 13 年。為什麼偏偏是 13 和 17?因為它們是質數——天敵的繁殖週期(2 年、4 年、6 年…)很難和質數「撞期」,17 年蟬和 4 年天敵要每 68 年才相遇一次。質數,是蟬用了幾百萬年演化出的生存策略。
質數:恰好有兩個因數(1 和自己)的數。合數:因數多過兩個。1 既不是質數也不是合數(它只有一個因數)。2 是唯一的偶質數。
質因數分解:任何合數都能拆成質數相乘,而且拆法唯一。例:60=2×2×3×5=2²×3×5。質數就是搭出所有數字的「原子」。
互動實驗:埃拉托斯特尼篩法 — 下面是 1~100。劃掉 1,再劃掉 2 的倍數(2 本身留下)、3 的倍數(3 留下)、5 和 7 的倍數……點擊數字劃掉/恢復,完成後按「對答案」。剩下的,就是 100 以內全部質數。
限時 45 分鐘,每題 10 分。90 金 / 70 銀 / 50 銅。錯題進武器庫。
競賽數學一半的題目本質上都在問同一句話:「你看得出規律嗎?」這一章訓練你的「模式眼」——看見別人看不見的結構。
先玩再學——猜下一個數,輸入後按「檢查」:
(彩蛋:31, 28, 31, 30, 31, … 下一個是?——這不是數學題,是月曆!有時候「規律」藏在生活裡。)
① 看差:相鄰兩數相減。差還看不出?看差的差。② 看倍:試試相除(×2? ×3?)。③ 看老朋友:平方數 1,4,9,16,25…、立方數 1,8,27,64…、質數 2,3,5,7,11…。④ 看組合:前兩項相加?隔項有關?(1,1,2,3,5,8 = 斐波那契數列,每項是前兩項之和——向日葵的種子、鸚鵡螺的殼都按它生長。)
3^2026(3 自乘 2026 次)是一個接近一千頁才寫得完的巨獸,宇宙裡沒有計算機顯示得完它。但我知道它的個位數字是 9。
我不是神——我只是發現了:巨獸再大,它的尾巴也在繞圈圈。
3 的次方的個位:3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1…——每 4 個一循環!所以只需問:2026 是循環裡的第幾個?2026÷4=506…餘2 → 第 2 個 → 9。
週期問題三步曲:① 找出週期(繞一圈多長) ② 用除法取餘數 ③ 餘幾就是第幾個(整除 = 一圈的最後一個!)
示範 — 今天星期三,100 天後星期幾?一週 7 天,100÷7=14…餘2,星期三再走 2 天 → 星期五。
拿一盒牙籤。搭 1 個三角形要 3 根;搭「一排 2 個」(共用一條邊)要 5 根;一排 3 個要 7 根。
不搭出來,你能說出一排 100 個三角形要幾根嗎?(如果你在數 1、2、3……停!獵人不數數,獵人找結構:第一個三角形 3 根,之後每個只加 2 根。)
圖形規律的套路:「首個 + 每次增加 × 次數」。一排 n 個三角形 = 3+2×(n−1) = 2n+1 根 → 100 個要 201 根。
核心心法(再說一次):從最簡單的情況開始,列表,找規律,再驗證。
限時 45 分鐘,每題 10 分。90 金 / 70 銀 / 50 銅。
模擬真實比賽:12 題,限時 60 分鐘,不用計算機,獨立完成(爸媽監考更有儀式感)。每題 10 分,滿分 120。100 分以上金牌——拿到金牌,就有資格解開第二階段的封印。三章的武器混在一起考,就像真正的比賽一樣。
第二階段(思維大陸)已經解封——就在下面,第四章開始。強烈建議先打完這份畢業試再南下:金牌出發最好,銀牌也夠;沒到 60 分不是失敗,是偵察——錯題本會告訴你哪一章要重打,重打完再來,BOSS 一直在等你。
歡迎來到第二階段!第三章你玩過「週期」,其實背後的引擎就是餘數——數論皇冠上的明珠。華夏盃、AIMO 每年必考,而且你會學到一個 1700 年前中國人發明、今天還在加密技術裡用的絕招。
25 顆糖分給 7 個人,每人 3 顆,剩 4 顆。寫成數學:25 = 7×3 + 4。
就這麼簡單?別小看它——第三章所有週期魔術(星期幾、個位數字)的引擎全是這條式。這一章我們把引擎拆開看。
帶餘除法:被除數 = 除數 × 商 + 餘數,而且 0 ≤ 餘數 < 除數(餘數永遠小過除數,餘「8」就不可能是 ÷8 的答案!)。
往回數也一樣:100 天前是星期幾?100÷7 餘 2,往回走 2 天就行。
古時候的賬房先生沒有計算機,但幾秒鐘就能看出一條乘法算錯了:6742 × 85 = 573020?他掃一眼就說「錯!」——他用的是棄九法,今天你也學會。
餘數三定律:和的餘數 = 餘數之和(的餘數);差、積同理。翻譯成人話:只關心餘數時,可以先取餘數再運算。
兩個熟人的真身:個位數字 = 除以 10 的餘數(第三章!);數字和的除 9 餘數 = 原數除 9 的餘數(第二章的「被 9 整除看數字和」就是它的特例!)。
棄九法:把算式兩邊各自「棄九」(取數字和的除 9 餘數),兩邊不相等 → 一定算錯;相等 → 大概率沒錯。示範:6742→1, 85→4, 1×4=4;而 573020→5+7+3+0+2+0=17→8。4≠8 → 錯!(正確答案是 573070。)
傳說漢代大將韓信點兵不用一個個數:士兵 3 人一排剩 2 人,5 人一排剩 3 人,7 人一排剩 2 人——他立刻知道人數。這個問題記載在 1700 年前的《孫子算經》裡,它的推廣「中國剩餘定理」今天還在保護你的網上支付安全。
先玩讀心術:心裡想一個 1~100 的數,分別算出它除以 3、5、7 的餘數,填進來——我直接說出你想的數:
求「÷3餘2、÷5餘3、÷7餘2」的最小數:先列 ÷7餘2 的:2, 9, 16, 23, …(跳最大的除數,列表最短!)→ 逐個檢查 ÷5 餘 3:23 ✓ → 再查 ÷3 餘 2:23 ✓。答案 23。
進階心法「找差一」:如果每個餘數都恰好比除數小 1(差 1 就整除),那答案 = 除數們的最小公倍數 − 1。
限時 45 分鐘,每題 10 分。90 金 / 70 銀 / 50 銅。錯題進武器庫。
雞兔同籠出自 1500 年前的《孫子算經》,是中國數學的招牌菜。這一章學三套兵法:假設法、盈虧公式、還原法——它們的共同心法是「把亂糟糟的故事翻譯成乾淨的數量關係」。第八章你會用方程把它們全部重打一遍,體會兩種武功的差別。
《孫子算經》原題:「今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?」——籠子裡雞兔共 35 個頭、94 隻腳,各有幾隻?
古人的腦洞解法:讓每隻兔子抬起兩隻前腳!全場只剩 35×2=70 隻腳站地,多出來的 94−70=24 隻腳全是兔子抬起的,每兔抬 2 隻 → 兔 = 24÷2 = 12 隻,雞 23 隻。
假設全是雞:腳數 = 35×2 = 70,比實際少 94−70 = 24。每把一隻雞換成兔,腳 +2 → 兔 = 24÷2 = 12。
公式:兔 = (實際腳數 − 頭數×2) ÷ (4−2)。口訣:先假設,看差距,再置換。
班長分糖:每人 3 粒,多出 8 粒(盈);改成每人 5 粒,又差 4 粒(虧)。幾多人?幾多糖?
直覺想:從「每人3」升級到「每人5」,每人要多拿 2 粒,一共要多發 8+4=12 粒——所以有 12÷2=6 個人。
人數 = (盈 + 虧) ÷ 兩次分法之差。糖數回代驗算:3×6+8 = 26 = 5×6−4 ✓。
變形:兩次都盈 → (大盈−小盈)÷分差;兩次都虧 → (大虧−小虧)÷分差。核心不變:總差 ÷ 每人差 = 人數。
爸爸 40 歲,你 12 歲。有沒有哪一年,爸爸的年齡恰好是你的 2 倍?
年齡問題有一條鐵律,像物理定律一樣永遠成立:年齡差永遠不變——時光怎麼流,爸爸永遠比你大 28 歲。抓住不變量(第二章的老朋友!),一切迎刃而解。
年齡:差不變。爸爸是你 2 倍那年,差(28)恰好等於你的年齡 → 你 28 歲,即 16 年後(40+16=56=2×28 ✓)。
還原法:一個數經過一串加減乘除得到結果,求原數?從結果出發,倒著走,每步用反運算(+變−,×變÷,順序反轉)。
限時 45 分鐘,每題 10 分。90 金 / 70 銀 / 50 銅。
火車、追逐、環形跑道、順水逆水——行程問題是應用題的武林盟主,港澳盃年年出場。萬變不離其宗:路程 = 速度 × 時間,一條式走天下。畫線段圖是本章的隱藏武器:動筆畫,別硬想。
甲乙兩城相距 200 公里。一輛車從甲城出發時速 60,同時另一輛從乙城對開時速 40。幾小時後相遇?
換個視角:兩車一齊「吃掉」中間的距離,每小時合共吃 60+40=100 公里 → 200÷100 = 2 小時。這個「合速度」視角,就是相遇問題的全部。
相遇:路程 ÷ 速度和 = 時間。兩人相向而行,距離縮短的速度 = 兩人速度之和。
逃犯先跑了 20 公里,警車出發,警車每小時比逃犯快 10 公里。幾耐追到?
視角切換:只看「差距」——差距每小時縮小 10 公里,共 20 公里 → 2 小時。追及的靈魂是速度差。
追及:距離差 ÷ 速度差 = 時間。相遇用「和」,追及用「差」——一和一差,行程雙璧。
一列 200 米長的火車,以每秒 20 米過一條 1000 米的橋。過橋要幾耐?
陷阱在「過完」的定義:車頭上橋開始,要到車尾離橋才算完——所以火車實際走了 橋長+車長 = 1200 米 → 60 秒。火車題,永遠記得自己有長度。
過橋/隧道:(橋長+車長) ÷ 車速。兩車錯車(相向):(車長和)÷(速度和)。經過電線桿/行人:只需走完自己的車長。
順水逆水:順水速 = 船速+水速;逆水速 = 船速−水速。倒推:船速 = (順+逆)÷2,水速 = (順−逆)÷2(就是和差問題!)。
限時 45 分鐘,每題 10 分。90 金 / 70 銀 / 50 銅。建議每題先畫線段圖。
從這一章起,你需要:直尺、量角器、剪刀、紙。幾何是「動手的數學」——親手量、親手撕、親手摺,定理才會長在你腦裡。中一課內幾何 + 競賽角度題,這章一次打通。
拿剪刀「喀嚓」剪開一張紙——刀口張開的兩個角(上下),你發現什麼?永遠相等。這叫對頂角。兩條直線相交出 4 個角,對面的兩兩相等——這是幾何城堡的第一塊磚。
直角 90°,平角 180°,周角 360°。互餘:兩角和=90°;互補:兩角和=180°(「餘」小「補」大,90 餘 180 補)。對頂角相等;平行線被第三條線所截:同位角相等、內錯角相等。
鐘面速算:時針每小時 30°、每分鐘 0.5°;分針每分鐘 6°。
紙上畫一個大三角形,剪下來,把三個角撕下來,角尖對齊拼在一起——三個角恰好拼成一條直線!換一個完全不同形狀的三角形再試,還是一條直線。
你剛親手發現了:三角形內角和 = 180°。(嚴格證明要用平行線,中二會學;但你已經「看見」它為什麼對。)
內角和 180°。直角三角形:兩銳角互餘。外角定理:外角 = 兩個不相鄰內角之和(撕角實驗的另一半:拼出直線剩下的部分!)。三角形最多 1 個鈍角或直角。
五邊形的內角和是幾多?別背——切它:從一個頂點向其他頂點連線,五邊形被切成 3 個三角形 → 內角和 = 3×180 = 540°。六邊形切出 4 個 → 720°。看出規律未?
n 邊形內角和 = (n−2) × 180°(切成 n−2 個三角形)。外角和永遠 360°(繞多邊形走一圈,總共轉了一個圈!)。正 n 邊形每個內角 = 內角和÷n,每個外角 = 360÷n(外角算法通常快得多)。
等腰三角形:兩底角相等。給你一個角問其餘兩個 → 永遠檢查兩種情況(它是頂角?還是底角?),但如果給的角 ≥ 90°,它只能做頂角(底角有兩個,不能都 ≥90°)。
限時 45 分鐘,每題 10 分。90 金 / 70 銀 / 50 銅。
第五章你用「兵法」解應用題——聰明但每題一個套路。代數是統一魔法:設個 x,列條方程,什麼雞兔盈虧年齡全部一招通殺。中一課內的方程 + 競賽的「定義新運算」,這章打包。
表演給家人看:「心裡想一個數 → 乘 2 → 加 10 → 除以 2 → 減去你最初想的數。」你直接宣佈:「答案是 5!」百發百中。
為什麼?讓字母出場:設想的數是 x,過程就是 (2x+10)÷2 − x = x+5−x = 5——x 在中途被消掉了,答案跟他想什麼根本無關。字母的魔力:一次過講清所有數的命運。
字母代表「未知或任意的數」。書寫規矩:乘號省略(3×a 寫 3a),字母前的數字寫前面(a3 ✗ → 3a ✓),1a 寫 a。
常用表達:連續三個整數 n−1, n, n+1;偶數 2n;奇數 2n+1。
想像一座天平:左盤放「3 袋糖和 7 粒」,右盤放「22 粒」,恰好平衡 → 3x+7 = 22。
解方程的全部秘密:兩邊做同樣的事,天平保持平衡。兩邊各拿走 7 粒 → 3x=15;兩邊各分三份 → x=5。就這樣。
解一元一次方程四步:①去括號 ②移項(過橋要變號) ③合併同類項 ④係數化 1。解完必回代驗算——方程是少數「自帶答案檢查器」的數學,不驗算等於白撿的分不要。
還記得第五章那籠雞兔嗎(35 頭 94 腳)?當時用假設法。現在:設兔 x 隻,雞就是 35−x 隻,腳:4x + 2(35−x) = 94 → 2x=24 → x=12。同一個答案,但這次不用腦筋急轉彎,只要老實翻譯。
兵法靠巧,方程靠穩——比賽時間緊用兵法,題目古怪用方程,雙修才是高手。
①設(通常設所求,或設「份數」)②列(找一句「相等」的話翻譯成 =)③解+驗。最難是②:題目裡藏著一條「A = B」的句子,找到它,方程就列成了。
限時 45 分鐘,每題 10 分。90 金 / 70 銀 / 50 銅。每題解完必須回代驗算。
12 題,限時 60 分鐘,不用計算機,獨立完成。每題 10 分,滿分 120,100 分以上金牌。五章武器混合出題——真比賽就是這樣考的。
拿到第二階段金牌,你已經不是「沒受過訓練」的人了——你有計算、數論、規律、餘數、應用題、行程、幾何、代數八般武藝。請爸媽回到 Claude 說一句:「解鎖第三階段。」最後的競賽大陸:計數原理、面積割補、抽屜原理、真題衝刺——直通比賽季。
孩子卡題時,忍住不要講答案。只用三句話:「你是怎麼想的?」「有沒有別的方法?」「這題像不像我們做過的哪一題?」講出來的思路才是他的;聽來的思路,比賽時帶不進考場。孩子講題給您聽時,哪怕您聽不懂,認真聽完——「講給別人聽」是最高效的學習方式。
每天 30–40 分鐘、每週 5 天,一個任務可以拆成兩天,寧慢勿快。獎勵過程(連續打卡 7 天、錯題本寫滿一頁),不獎勵「聰明」;XP 和等級可以自行兌換家庭獎勵(例如滿 500 XP 一次家庭活動)。切記:他做錯題時的反應,決定了他會不會愛上數學——把「怎麼錯了」換成「這題有點東西,我們一起看看它的鑰匙」。
| 時間 | 做什麼 | 備註 |
|---|---|---|
| 9–10 月 | 本手冊第一階段(第一至三章 + 畢業試) | 建立習慣與信心 |
| 已解鎖 | ✅ 第二階段已於 2026-07-22 解鎖(第四至八章就在本手冊) | 建議 12 月前完成 |
| 11–12 月 | 報名 AMC8(經學校或阿思丹 ASDAN,1 月開考);可順帶報 12 月「學界精英賽」試水 | AMC8 適合中一至中二 |
| 12–1 月 | 解鎖第三階段(計數/面積/抽屜原理/真題) | 開始做目標比賽的歷屆真題 |
| 1–2 月 | 報名華夏盃初賽(hkmo.com.hk,可個人報名);3 月前報數學袋鼠 HKMKC | 兩者金獎都按比例頒發,是主攻目標 |
| 3–4 月 | 比賽季:華夏盃晉級賽、袋鼠、港澳盃 AIMO | 賽前兩週以錯題本+真題為主 |
| 7–8 月 | 視乎戰果,8 月「數學及奧數公開賽」再衝一次 | 一年有 3–4 個獎牌窗口 |
關於「金牌」的坦白話:華夏盃、袋鼠、HKIMO 這類比賽的金獎按參賽者比例頒發(大致前 10–25%,視乎賽事)。以他「底子不錯」為起點,按本路線每天 30 分鐘堅持 8 個月,金牌是現實可爭的目標——但請把它當副產品。真正的獎品是:一個主動翻開數學書的孩子。若某場失手,同一賽季還有下一場,錯題本比獎牌保值。
進度(打卡、XP、分數)自動保存在本裝置的瀏覽器中;換裝置不會同步,建議固定用同一部 iPad/電腦。每題先選答案,系統即時計分後才展開「答案與思路」;提示仍可先看,請與孩子約定遵守「三次法則」。頁面右下角可重置全部進度。